Lec19 - 行列式公式和代数余子式

第 19 课 行列式公式和代数余子式

上一节我们讲述了行列式的 $10$ 个性质，根据这些性质，我们能够推导出行列式的一般求解过程。本节，我们将更加深入地讲解行列式公式和代数余子式，这两者都是求解行列式的方法。

行列式公式

在上一节中，我们已经提到了二阶行列式公式 $\left|\begin{array}{ll}{a} & {b} \\ {c} & {d}\end{array}\right|=a d-b c$，但我们并没有多做任何解释。

学习了关于行列式的这么多性质，现在我们有能力推导二阶行列式公式了：

$$\displaylines{ \begin{vmatrix}a& b\\c& d\end{vmatrix}\stackrel{3.b}{=}\begin{vmatrix}a& 0\\c& d\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}0& b\\c& d\end{vmatrix}\stackrel{3.b}{=}\begin{vmatrix}a& 0\\c& 0\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}a& 0\\0& d\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}0& b\\c& 0\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}0& b\\0& d\end{vmatrix}\\ 其中\begin{vmatrix}a& 0\\c& 0\end{vmatrix}\stackrel{6, 10}{=}0,\quad\begin{vmatrix}a& 0\\0& d\end{vmatrix}\stackrel{7}{=}ad,\quad \begin{vmatrix}0& b\\c& 0\end{vmatrix}\stackrel{2,7}{=}-bc,\quad \begin{vmatrix}0& b\\0& d\end{vmatrix}\stackrel{6,10}{=}0\\ 综上，\begin{vmatrix}a& b\\c& d\end{vmatrix}=ad-bc }$$

观察上面的推导过程，不难发现，行列式的值等于使用性质 $3.b$ 分解后所得的那些非零行列式的和，所谓的非零行列式也即该行列式各行各列都有元素，故值不为零。

带着这个重要发现，我们继续尝试计算三阶行列式。以同样的步骤，先保持第 $2$，$3$ 行不变，将第 $1$ 行进行拆分得到 $3$ 个行列式，分别对这 $3$ 个行列式的第 $2$ 行进行拆分得到共 $9$ 个行列式，再接着拆分这 $9$ 个行列式的第 $3$ 行，最终得到 $27$ 个行列式，而我们只需要其中的非零行列式：

$$\displaylines{ \begin{align} \begin{vmatrix}a_{11}& a_{12}& a_{13}\\a_{21}& a_{22}& a_{23}\\a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{vmatrix}&=\begin{vmatrix}a_{11}& 0& 0\\0& a_{22}& 0\\0& 0& a_{33}\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}a_{11}& 0& 0\\0& 0& a_{23}\\0& a_{32}& 0\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}0& a_{12}& 0\\a_{21}& 0& 0\\0& 0& a_{33}\end{vmatrix}\\&+\begin{vmatrix}0& a_{12}& 0\\0& 0& a_{23}\\a_{31}& 0& 0\end{vmatrix} +\begin{vmatrix}0& 0& a_{13}\\a_{21}& 0& 0\\0& a_{32}& 0\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}0& 0& a_{13}\\0& a_{22}& 0\\a_{31}& 0& 0\end{vmatrix}\\ &=a_{11}a_{22}a_{33}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31} \end{align} }$$

观察以上矩阵的拆分形式，容易发现，$n$ 阶行列式可以分解得到 $n!$ 个非零行列式（占据第 $1$ 行的元素有 $n$ 种选择，占据第 $2$ 行的元素有 $n-1$ 种选择，以此类推即 $n!$）：

$$\displaylines{ \det A=\sum_{n!} \pm a_{1\alpha}a_{2\beta}a_{3\gamma}\cdots a_{n\omega}, \quad(\alpha, \beta, \gamma, \cdots,\omega)=P_n^n }$$

其中 $\alpha, \beta, \gamma, \cdots,\omega$ 共 $n$ 个数是列标 $1$ 到 $n$ 的某种排列。上式即为一般的行列式公式。

我们再补充说明一下如何确定非零行列式的符号，考虑以下行列式：

$$\displaylines{ \begin{vmatrix}0& 0& \color{red}1& \color{blue} 1\\0& \color{red} 1& \color{blue} 1& 0\\ \color{red} 1& \color{blue} 1& 0& 0\\\color{blue} 1& 0& 0& \color{red} 1\end{vmatrix} }$$

使用行列式公式进行求解，剔除值为零的行列式。容易发现，$\alpha$ 只能为 $3$ 或 $4$。选定 $\alpha=3$，则 $\beta=2,\gamma=1,\omega=4$；选定 $\alpha=4$，则 $\beta=3,\gamma=2,\omega=1$。我们只能找到两组非零行列式。

• 对于第一组非零行列式（图中蓝色部分），其对应的排列是 $(4, 3, 2, 1)$，变为 $(1, 2, 3, 4)$ 需要两步操作，由行列式性质 $2,10$ 可知符号应取 $+$。
• 对于第二组非零行列式（图中红色部分），其对应的排列是 $(3,2,1,4)$，变为 $(1, 2, 3 ,4)$ 需要一步操作，由行列式性质 $2,10$ 可知符号应取 $-$。

通过统计当前排列变换到顺序排列 $(1,2,3,\cdots,n)$ 的操作数可以确定非零行列式的符号，但这种方法显然不实用，难以编程实现且当仅适用于行列式的阶数较小时。

一般我们用逆序数来判断非零行列式的正负号。逆序数就是从左到右遍历当前排列中的每一个数，统计右侧有几个数比自己小，比如对于排列 $(4, 3, 2,1)$ ，$4$ 后面有 $3$ 个数比它小，$3$ 后面有 $2$ 个数比它小，$2$ 后面有 $1$ 个数比它小，取其总和 $3+2+1=6$ 即为逆序数。逆序数为偶数的，则称排列为偶排列，否则为奇排列，偶排列时非零行列式取 $+$，奇排列时非零行列式取 $-$。其中的道理在于奇排列做一次交换后即为偶排列，偶排列做一次交换后即为奇排列，初始顺序排列 $(1, 2, 3, \cdots, n)$ 为偶排列。

代数余子式

接下来引入代数余子式的概念，它是另外一种求解行列式的方法，其作用是把 $n$ 阶行列式化简为 $n−1$ 阶行列式。

回顾上面的 $3\times 3$ 矩阵，我们已经得到了它的行列式公式：

$$\displaylines{ 原式=a_{11}a_{22}a_{33}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31} }$$

略作改写易得：

$$\displaylines{ a_{11}(a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32})+a_{12}(-a_{21}a_{33}+a_{23}a_{31})+a_{13}(a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31})\\ =\begin{vmatrix}a_{11}& 0& 0\\0& a_{22}& a_{23}\\0& a_{32}& a_{33}\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}0& a_{12}& 0\\a_{21}& 0& a_{23}\\a_{31}& 0& a_{33}\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}0& 0& a_{13}\\a_{21}& a_{22}& 0\\a_{31}& a_{32}& 0\end{vmatrix}\\ =a_{11}(\begin{vmatrix} a_{22}& a_{23}\\a_{32}& a_{33}\end{vmatrix})+a_{12}(-\begin{vmatrix} a_{21}& a_{23}\\a_{31}& a_{33}\end{vmatrix})+a_{13}(\begin{vmatrix} a_{21}& a_{22}\\a_{31}& a_{32}\end{vmatrix}) }$$

容易发现，$3\times 3$ 的行列式由 $2\times 2$ 行列式组成。事实上，$n$ 阶行列式同样可化为多个 $n-1$ 阶行列式的组合。下面我们正式介绍代数余子式的概念：

• 改写中的括号部分就是代数余子式，比如 $(a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32})$ 就是 $a_{11}$ 的代数余子式，$(-a_{21}a_{33}+a_{23}a_{31})$ 就是 $a_{12}$ 的代数余子式。

• 代数余子式 (cofactors) 是与选定元素配套的，这也即 ‘co-‘ 的意思。

• 选定元素 $a_{ij}$ 的代数余子式即为：将原行列式中的第 $i$ 行和第就 $j$ 列抹去后得到的 $n-1$ 阶行列式，再取正负（ $i+j$ 为偶时取 $+$， $i+j$ 为奇时取 $-$），整个记为 $C_{ij}$ ：

  $$\displaylines{ C_{ij}=(-1)^{i+j}\cdot det(去掉 i 行和j列的一个n-1矩阵) }$$

基于代数余子式的概念，我们容易给出新的求行列式的公式：

$$\displaylines{ 假设我们选取第一行（i=1），那么行列式A沿第一行展开有:\\ det(A)=a_{11}C_{11}+a_{12}C_{12}+...+a_{1n}C_{1n} }$$

到目前为止，我们学习了三种求解行列式的方法，总结如下：

• 消元，将矩阵化为三角矩阵，主元乘积记为行列式的值（最简单）
• 按照行列式公式将行列式完全展开，找到 $n!$ 种非零行列式，计算这些行列式的值的和（最复杂）
• 使用代数余子式对行列式进行降阶，展开得到更简单的行列式，然后再求解（介于二者之间）

下面我们举由 $1$ 组成的三对角矩阵为例，来熟悉如何使用代数余子式求解行列式：

$$\displaylines{ A_{1}=1, A_{2}=\left|\begin{array}{cc}{1} & {1} \\ {1} & {1}\end{array}\right|, A_{3}=\left|\begin{array}{ccc}{1} & {1} & {0} \\ {1} & {1} & {1} \\ {0} & {1} & {1}\end{array}\right|, A_{4}=\left|\begin{array}{cccc}{1} & {1} & {0} & {0} \\ {1} & {1} & {1} & {0} \\ {0} & {1} & {1} & {1} \\ {0} & {0} & {1} & {1}\end{array}\right|,\cdots, 寻找其行列式值的规律 }$$

对于 $A_1$ 和 $A_2$ 我们能够迅速求出其行列式（利用性质）：$A_1=1,A_2=0$。

对于 $A_3$ 我们无法一眼看出答案，这里我们可以就 $A_3$ 使用这种新方法：

$$\displaylines{ 显然直接按第一行展开有： A_3 =1\begin{vmatrix} 1&1\\1&1\end{vmatrix}-1\begin{vmatrix}1&1\\0& 1\end{vmatrix}=0-1=-1。\\ 按第二行展开有：A_3 =-1\begin{vmatrix} 1&0\\1&1\end{vmatrix}+1\begin{vmatrix}1&0\\0& 1\end{vmatrix}-1\begin{vmatrix}1&1\\0& 1\end{vmatrix}=-1+1-1=-1。 }$$

注意到，按第二行展开时，我们的工作量会大一些，这与不等于 $0$ 的 $a_{ij}$ 的个数有关。这一点暗示我们，在使用代数余子式求行列式时，应该尽量选取 $0$ 元素多的行。如果各行 $0$ 元素都很少，那么根据消元不改变行列式的性质（性质 $5$），我们可以先对矩阵进行消元，以得到 $0$ 元素多的行，然后再使用代数余子式进行行列式的求解。

$$\displaylines{ \begin{vmatrix}1& 1& 0\\1& 1& 1\\0& 1& 1\end{vmatrix}\xrightarrow{row_2=row_2-row_3}\begin{vmatrix}1& 1& 0\\1& 0& 0\\0& 1& 1\end{vmatrix}\\ 然后选取第二行展开有：A_3=-1\begin{vmatrix} 1&0\\1&1\end{vmatrix}=-1 }$$

同理，对于 $A_4$：

$$\displaylines{ A_4=\begin{vmatrix}1& 1& 0& 0\\1& 1& 1& 0\\0& 1& 1& 1\\0& 0& 1& 1\end{vmatrix}\stackrel{沿第一行展开}{=}1\begin{vmatrix}1& 1& 0\\1& 1& 1\\0& 1& 1\end{vmatrix}-1\begin{vmatrix}1& 1& 0\\0& 1& 1\\0& 1& 1\end{vmatrix}=A_3-\begin{vmatrix}1& 1& 0\\0& 1& 1\\0& 1& 1\end{vmatrix}\\ }$$

需要补充说明的是，使用代数余子式求行列式时我们可以按行展开，也可以按列展开（性质 $10$），比如上式中的 $\begin{vmatrix}1& 1& 0\\0& 1& 1\\0& 1& 1\end{vmatrix}$，我们可以选取第一列展开（因为第一列 $0$ 元素多），那么易得 $\begin{vmatrix}1& 1& 0\\0& 1& 1\\0& 1& 1\end{vmatrix}=1\begin{vmatrix}1& 1\\1& 1\end{vmatrix}=A_2$。

综上，我们得到 $\begin{vmatrix}A_4\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}A_3\end{vmatrix}-\begin{vmatrix}A_2\end{vmatrix}=-1-0=-1$。猜想由 $1$ 组成的三对角矩阵的行列式值的规律可能正是 $\begin{vmatrix}A_n\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}A_{n-1}\end{vmatrix}-\begin{vmatrix}A_{n-2}\end{vmatrix}$，事实上，这确实就是由 $1$ 组成的三对角矩阵行列式值的规律，这是由 $1$ 组成的三对角矩阵的特殊结构所决定的。

由此规律，易得 $\begin{vmatrix}A_5\end{vmatrix}=0$，$\begin{vmatrix}A_6\end{vmatrix}=1$，$\begin{vmatrix}A_7\end{vmatrix}=1$，$\begin{vmatrix}A_8\end{vmatrix}=0$，到这里我们发现：由 $1$ 组成的 $n$ 阶三对角矩阵的行列式值从 $1$ 阶开始按照 $1,0,-1,-1,0,1$ 循环，周期为 $6$。