Lec18 - 行列式及其性质

第 18 课 行列式及其性质

从这堂课开始，我们就进入了这门课的第二部分。迄今为止，我们已经学习了很多关于长方矩阵的知识，现在，把注意力转向方阵，探讨两个大的话题：行列式和特征值，我们需要行列式的重要原因是求特征值。

行列式是跟每个方阵都有关的数，每个方阵都有与其相关的行列式，我们一般记为 $\det A$，或者写作 $|A|$。

行列式最早是应用在用来判断方程组是否有解，在矩阵被发明后，行列式就拥有了更多的性质和应用。行列式是一个神奇的数，一个数很难告诉你整个矩阵是什么样子的，但行列式把矩阵的尽可能多的信息就包含在其中了。就比如，矩阵可逆等价于行列式非零，行列式为零时矩阵是奇异的。从另外一个角度来理解，行列式从某种程度上代表了这个矩阵的特征，这是学习特征分解的前置概念。

三个行列式基础性质

首先我们介绍三个行列式基础性质，这三个性质定义了行列式。

• 性质 $1$ ：对于单位矩阵 $I$，有 $\det I=1$。

• 性质 $2$ ：交换行，行列式的值的符号会相反。

  由上面的两个性质我们可以得到：之前学习的置换矩阵的行列式的值为 $1$ 或 $-1$。例如：$\left|\begin{array}{ll}{1} & {0} \\ {0} & {1}\end{array}\right|=1,\left|\begin{array}{ll}{0} & {1} \\ {1} & {0}\end{array}\right|=-1$。

  置换矩阵 $P$ 具体的行列式值为 $1$ 还是 $-1$，取决于行交换的次数：$\det P=\begin{cases}1\quad & even（偶数）\\ -1\quad & odd（奇数）\end{cases} $。

接下来，我们要讲的内容可能有些会比较抽象，所以在这里先给出二阶行列式的公式，以便我们验证我们所讲的任何一个性质。

$$\displaylines{ \begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad-bc }$$

• 性质 $3$ 是非常关键的，我们把它分为 $3.a$ 和 $3.b$：

  • 性质 $3.a$ ：行列式按行提取出矩阵中的系数，也即 $\begin{vmatrix}ta&tb\\c&d\end{vmatrix}=t\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}$。我们可以用二阶行列式的公司来验证一下：$\begin{vmatrix}ta&tb\\c&d\end{vmatrix}=t(ad-bc)=t\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}$。

  • 性质 $3.b$ ：行列式是一个线性函数，但这个线性单独反映在每一行上，也即：${\begin{vmatrix}a+a’& b+b’\\c& d\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a& b\\c& d\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}a’& b’\\c& d\end{vmatrix}}$。

    注意，性质 $3.b$ 说的并不是 $|A+B|=|A|+|B|$，行列式的线性并不作用于整个矩阵上，而是只反映在每一行上，同样可以用二阶行列式来验证：${\begin{vmatrix}a+a’& b+b’\\c& d\end{vmatrix}=ad+a’d-bc-b’c=(ad-bc)+(a’d-b’c)=\begin{vmatrix}a& b\\c& d\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}a’& b’\\c& d\end{vmatrix}}$

推导出的性质

关于行列式更多的性质可以从以上的三条性质中推导出来。

• 性质 $4$ ：如果两行相等，那么行列式等于 $0$。

  这个性质容易用性质 $2$ 证明，由于两行相等，故交换两行，矩阵没有发生任何变化，故行列式也不发生任何变化，交换发生行列式却没变号，那说明行列式只可能是 $0$ 了。当然该性质也和有两个相等的行的矩阵是不可逆的这一事实相符。

• 性质 $5$ ：从 $k$ 行中减去第 $i$ 行的 $l$ 倍，行列式不变。

  这条性质非常有用，它告诉我们，一个行列式未知的矩阵，消元得到其化简的形式，比如说上三角形式，行列式并不因消元而改变。

  举例：$\begin{vmatrix}a& b\\c-la& d-lb\end{vmatrix}\stackrel{3.b}{=}\begin{vmatrix}a& b\\c& d\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}a& b\\ -la& -lb\end{vmatrix}\stackrel{3.a}{=}\begin{vmatrix}a& b\\c& d\end{vmatrix}-l\begin{vmatrix}a& b\\a& b\end{vmatrix}\stackrel{4}{=}\begin{vmatrix}a& b\\c& d\end{vmatrix}$

• 性质 $6$ ：如果方阵的某一行全为 $0$，那么其行列式值也为 $0$。

  这个性质很好证明，我们可以使用性质 $3.a$ 来证明：$\begin{vmatrix}0&0\\c&d\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}2\cdot0&2\cdot0\\c&d\end{vmatrix}=2\begin{vmatrix}0&0\\c&d\end{vmatrix}$，行列式的两倍等于它本身，那说明行列式等于 $0$；我们也可以用性质 $5$ ，将某行加到零行，使方阵中存在相等的两行，然后根据性质 $4$ 可知行列式等于 $0$。

接下来的性质是重点，前面的只是作为铺垫，引出这个性质。我们可以通过消元法，把任何方阵化简为三角阵，这个三角阵的行列式等于多少，就是性质 $7$ 。

• 性质 $7$ ：上三角矩阵对应的行列式的值等于其对角线上元素的乘积。

  有上三角矩阵 $U$ 其行列式为 $U=\left|\begin{array}{cccc}{d_{1}} & {*} & {\cdots} & {*} \\ {0} & {d_{2}} & {\cdots} & {*} \\ {\vdots} & {\vdots} & {\ddots} & {\vdots} \\ {0} & {0} & {\cdots} & {d_{n}}\end{array}\right|$ ，则 $\det U=d_1d_2\cdot d_n$。

  证明：使用性质 $5$，从最后一行开始，将对角元素上方的 $*$ 元素依次变为 $0$，则可以得到型为 $D=\begin{vmatrix}d_{1}& 0& \cdots& 0\\0& d_{2}& \cdots& 0\\\vdots& \vdots& \ddots& \vdots\\0& 0&\cdots&d_{n}\end{vmatrix}$ 的对角行列式，再使用性质 $3$ 将对角元素提出得到 $d_nd_{n-1}\cdots d_1\begin{vmatrix}1& 0& \cdots& 0\\0& 1& \cdots& 0\\\vdots& \vdots& \ddots& \vdots\\0& 0& \cdots& 1\end{vmatrix}$，再结合性质 $1$，得证。

  需要补充说明的是，从矩阵 $A$ 化简到 $U$ 可能中间除了消元还有换行过程，故矩阵 $A$ 的真正的行列式可能不与 $U$ 的行列式同号，这是由行列式的性质 $2$ 决定的。

• 性质 $8$ ：当且仅当 $A$ 是奇异矩阵时，$\det A=0$；当且仅当 $A$ 不可逆时，$\det A=0$。

  性质 $8$ 举足轻重。如果矩阵可逆，则在化简为上三角形式 $U$ 后各行都有主元，由性质 $7$ 可知，此时 $|U|$ 必不可能为 $0$，又因为 $|A|=c|U|$（$c$ 表示由行变换引起的换行），故 $|A|$ 也不可能为 $0$ ；如果矩阵是奇异矩阵，则化简为上三角形式 $U$ 后会出现全零行，有性质 $6$ 可知此时 $|U|$ 为 $0$，则 $|A|$ 为 $0$。

我们可以验证一下，考虑二阶矩阵的情况，$\begin{vmatrix}a& b\\c& d\end{vmatrix}\xrightarrow{消元}\begin{vmatrix}a& b\\0& d-\frac{c}{a}b\end{vmatrix}=ad-bc$，此时求行列式的值，发现对角元素确实等于主元相乘。

前八个性质都是行列式自身的性质，接下来还有两个性质，但任何性质都离不开消元法。

• 性质 $9$ ：$\det AB=(\det A)(\det B)$。

  性质 $9$ 是关于矩阵乘积的行列式。有意思的是，行列式不具备线性性质，不具备加法性质，但却具备乘法性质。

  使用这一性质，我们就很好求得 $A$ 的逆矩阵的行列式：$\det I=\det{A^{-1}A}=\det A^{-1}\det A=1$，所以 $\det A^{-1}=\frac{1}{\det A}$。

  同时还可以得到 $\det A^2=(\det A)^2$：矩阵平方的行列式等于矩阵行列式的平方。

  此外还有 $\det kA=k^n\det A$：$k$ 为常数， $A$ 为 $n$ 阶的矩阵，这里相当于提出了每一行的 $k$，这个式子就像是在求体积一样。

  性质 $9$ 我们可以从对角矩阵出发来给与一个较为粗略的证明：假设 $A$ 和 $B$ 都是对角矩阵，那么 $AB$ 显然也是一个对角矩阵。

  $$\displaylines{ AB=\begin{bmatrix}a_{1}& 0& \cdots& 0\\0& a_{2}& \cdots& 0\\\vdots& \vdots& \ddots& \vdots\\0& 0& \cdots& a_{n}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}b_{1}& 0& \cdots& 0\\0& b_{2}& \cdots& 0\\\vdots& \vdots& \ddots& \vdots\\0& 0& \cdots& b_{n}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a_{1}b_1& 0& \cdots& 0\\0& a_{2}b_2& \cdots& 0\\\vdots& \vdots& \ddots& \vdots\\0& 0& \cdots& a_{n}b_n\end{bmatrix} }$$

  而对角矩阵其行列式就等于对角元素之乘积，所以 $det(AB)=a_1b_1\cdot a_2b_2\cdot …\cdot a_nb_n=(a_1\cdot a_2\cdot …\cdot a_n)\cdot (b_1\cdot b_2 \cdot… \cdot b_n)=det(A)det(B)$。就对角矩阵而言，性质 $9$ 得证。

  实际上，通过消元，大部分矩阵可转化为对角矩阵，而在消元过程中行列式并不会变化，所以性质 $9$ 的适用性进一步扩大。

  关于性质 $9$ 的完整证明可参考 $\det(AB)=\det(A)\det(B)$ 有简单证法吗？ - 王赟 Maigo的回答 - 知乎

• 性质 $10$ ：$\det A^T=\det A$。

  前面一直在关注行的属性给行列式带来的变化，有了这条性质，行的属性同样适用于列，比如对性质 $2$ 就有“交换列，行列式变号”。

  证明：将矩阵化为 $LU$ 的形式有：$A^T=U^TL^T$，$A=LU$。那么由性质 $9$ 可得 $|A^T|=|U^TL^T|=|U^T||L^T|$，$|A|=|LU|=|L||U|$，又因为 $L,U$ 的行列式并不因为转置而改变，于是得证。这个证明虽然很简洁，但是理由却很充分。

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最后我们来补充介绍一些关于置换的概念。任何一种置换都可区分奇偶。

对于一个矩阵，我通过 $7$ 次换行得到一种置换，那么同样可以通过 $21$ 或 $23$ 次换行得到甚至是 $101$ 次的，不管具体是多少但这个置换一定是奇数次的而不会是偶数次的。

对于一个给定的矩阵，如果该矩阵是可逆的，那么该矩阵 $7$ 次行交换的结果，绝对不会与 $10$ 次行交换的结果相同。这种置换的奇偶区分意味着行列式性质二是严谨且正确的，同时意味着行列式可以被严格定义。