Lec13 - 复习一

第 13 课复习一

本章是习题课，意在通过习题来对前十二课的内容进行回顾以作复习。

设 $u,v,w$ 是 $R^7$ 空间内的非零向量，它们生成了一个属于 $R^7$ 的向量子空间，则此空间的维数是多少？

由 $3$ 个向量张成的向量空间，显然维数只可能是 $0,1,2,3$ 中的其中一个。题中已经写明 $u,v,w$ 这三个向量都是非零向量，所以维数会是 $1,2,3$ 中的其中一个。
有一个 $5\times 3$ 的阶梯型矩阵 $U$，秩为 $3$，求该矩阵的零空间。

由题可知该矩阵列满秩，所以不存在自由变量，于是矩阵的零空间将只有零向量。
给定 $10\times 3$ 的矩阵 $B$，$B$ 中含有矩阵 $R$ 和 $2R$ ：$B=\begin{bmatrix}R\\2R\end{bmatrix}$ （$R$ 是 RREF 型矩阵）。
- 该矩阵的秩是多少，其 RREF 型矩阵是怎样的？
  
  这两个问题的求解都需要对 $B$ 进行消元，消元可得：$B=\begin{bmatrix}R\\2R\end{bmatrix}\rightarrow \begin{bmatrix}R\\0\end{bmatrix}$，后者显然就是其 RREF 型矩阵，其秩即为 $R$ 的秩（$rank(B)=rank(R)$）。
- 设 $C=\begin{bmatrix}R&R\\R&0\end{bmatrix}$ ，其 RREF 型矩阵是怎样的？
  $\displaylines{ \begin{bmatrix}R&R\\R&0\end{bmatrix}\rightarrow \begin{bmatrix}R&R\\0&-R\end{bmatrix}\rightarrow \begin{bmatrix}R&R\\0&R\end{bmatrix}\rightarrow \begin{bmatrix}R&0\\0&R\end{bmatrix} }$
  化简到最后的 $\begin{bmatrix}R&0\\0&R\end{bmatrix}$ 已经非常接近 RREF 型。但注意到，$R$ 中可能存在零行，所以严格意义上还应当将 $\begin{bmatrix}R&0\\0&R\end{bmatrix}$ 中 $R$ 的下面的零行移到 $\begin{bmatrix}R&0\\0&R\end{bmatrix}$ 整体的最下面，这样才最终得到标准的 RREF 型矩阵。
- 设 $R$ 的秩为 $3$，那么 $C$ 的左零空间的维数是多少？
  
  本题等价于求 $dim(N(C^T))$ 。$C$ 是一个 $10\times 6$ 的矩阵，由于 $R$ 的秩为 $3$，那么 $C$ 的秩就为 $6$，所以 $dim(N(C^T))=m-r=10-6=4$。
已知：$Ax=\begin{bmatrix}2\\4\\2\end{bmatrix}$，$x=\begin{bmatrix}2\\0\\0\end{bmatrix}+c\begin{bmatrix}1\\1\\0\end{bmatrix}+d\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}$。

容易知道矩阵 $A$ 应该是一个 $3\times 3$ 的矩阵。
- $A$ 的秩是多少？
  
  由题可知，$A$ 的零空间的维数是 $2$，这也即 $n-r=2$，又因为 $n=3$，所以矩阵 $A$ 的秩为 $1$。
- 矩阵 $A$ 究竟是怎样的？
  
  假设 $c=d=0$，那么有 $A\begin{bmatrix}2\\0\\0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2\\4\\2\end{bmatrix}$，这也即 $A$ 的第一列为 $\begin{bmatrix}1\\2\\1\end{bmatrix}$。
  
  然后观察零空间的两个特解，有 $A\begin{bmatrix}1\\1\\0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\0\\0\end{bmatrix}$，$A\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\0\\0\end{bmatrix}$。
  
  于是解得 $A=\begin{bmatrix}1&-1&0\\2&-2&0\\1&-1&0\end{bmatrix}$。
- 若 $Ax=b$ 有解，那么 $b$ 应该满足何种形式？
  
  该问题等价于求解 $A$ 的列空间，容易发现该矩阵秩为 $1$，也即只有一列对列空间有贡献。所以 $b$ 应该满足以下形式：$b=c\begin{bmatrix}1\\2\\1\end{bmatrix}$。
如果一个方阵 $A$ 的零空间只包含零向量，那么其左零空间呢？

也只包含零向量。
所有的 $5$ 阶可逆方阵是否构成向量空间？

否。因为至少连零矩阵都不包含在内，所以肯定不是。
存在除零矩阵外，平方为零的矩阵吗？

存在，如 $B=\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}$。
方阵的各列线性无关，$Ax=b$ 是否总是有解的？

方阵列满秩，显然总有解。
已知，$B=\overbrace{\begin{bmatrix}1&1&0\\0&1&0\\1&0&1\end{bmatrix}}^C\overbrace{\begin{bmatrix}1&0&-1&2\\0&1&1&-1\\0&0&0&0\end{bmatrix}}^D$。
- $B$ 的零空间
  
  首先知道的是， $B$ 是一个 $3\times 4$ 的矩阵，所以其零空间是 $R^4$ 的子空间。
  
  我们先不直接进行乘积求出 $B$，容易发现 $C$ 是一个可逆矩阵，那么对于 $Bx=CDx=0$，等式乘以 $C^{-1}$ 有 $C^{-1}CDx=Dx=0$。这说明 $B$ 的零空间只取决于矩阵 $D$，求解 $B$ 的零空间等价于求解 $D$ 的零空间。
  
  我们得到了一个重要的结论：假设有矩阵 $C,D$，当 $C$ 可逆时，那么 $N(CD)=N(D)$。
  
  现求解 $D$ 的零空间，容易发现可以直接使用前面介绍过的 RREF 型的知识。
  
  $D$ 中有 $I=\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}$，$F=\begin{bmatrix}-1&2\\1&-1\end{bmatrix}$。所以 $D$ 的零空间的基为 $\begin{bmatrix}1\\ -1\\1\\0\end{bmatrix}$，$\begin{bmatrix}-2\\1\\0\\1\end{bmatrix}$。
- 求 $Bx=\begin{bmatrix}1\\0\\1\end{bmatrix}$ 的通解。
  
  我们已经求出了 $B$ 的零空间的基（也即 $D$ 的零空间的基），所以现在只需要找出一个特解即可。
  
  观察整个矩阵 $C$ 和矩阵 $D$ 的第一列，容易发现 $C\cdot (col_1\ of\ D)=\begin{bmatrix}1\\0\\1\end{bmatrix}$。
  
  这也即 $B$ 的第一列恰好就是 $\begin{bmatrix}1\\0\\1\end{bmatrix}$。于是我们立刻就找到了一个特解 $\begin{bmatrix}1\\0\\0\\0\end{bmatrix}$。
  
  此题得解。
如果矩阵是方阵，是否意味着矩阵的行空间等于列空间？

错误，反例：$B=\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}$。
如果 $A$ 和 $B$ 的四个子空间相同，则 $A$ 是 $B$ 的倍数。

错误，任意同阶的可逆矩阵其四个子空间都相同，然而却不一定成倍数。
给定矩阵 $A$，交换其中的两行，哪些子空间没变？

行空间与零空间没变。
为什么向量 $\begin{bmatrix}1&2&3\end{bmatrix}^T$ 不能既是 $A$ 的某一行，又在 $A$ 的零空间中？

直接代入方程 $Ax=0$ 就能知道为什么了。
$\displaylines{ \begin{bmatrix}1&2&3\\.&.&.\\.&.&.\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\\2\\3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\0\\0\end{bmatrix} }$
显然，上式不可能成立。

实际上，对于一个给定的矩阵，其行空间和零空间所共享的向量只有零向量，这涉及到了正交的概念，矩阵的零空间与行空间正交。

第 13 课 复习一

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