第 11 课 矩阵空间、秩 $1$ 矩阵和小世界图

本章内容可分为三部分：第一部分延续上节课的内容，把向量空间的定义从向量扩展到矩阵和微分方程，第二部分介绍秩 $1$ 矩阵，第三部分简单讲述了图的概念和图与矩阵之间的联系。

我们接着探究上一节课提到的矩阵空间的概念。我们仍然讨论所有的 $3\times 3$ 矩阵这样的矩阵空间，记之为 $M$。

对于 $M$，很容易找到其子空间，比如所有的上三角矩阵（记为 $U$）以及所有的对称矩阵（记为 $S$）等等。

  • 所有的对称矩阵所组成的矩阵空间 $S$ 其维数为 $6$。容易找出 $S$ 的 $6$ 个基：

  • 所有的上三角矩阵所组成的矩阵空间 $U$ 其维数为 $6$。容易找出 $U$ 的 $6$ 个基：

将 $S$ 和 $U$ 两个子空间相交，容易得到 $M$ 的另外一个更小的子空间：

  • 所有的对角矩阵（记为 $D$），其维数是 $3$。容易找出 $D$ 的 $3$ 个基：

    $\begin{bmatrix}1&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}$，$\begin{bmatrix}0&0&0\\0&1&0\\0&0&0\end{bmatrix}$ , $\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&1\end{bmatrix}$。

在前面的课程中我们已经知道，两个子空间的并集并非是向量空间。现在我们不谈并集，我们谈和（再次强调，这里的和与并集不是一个概念！），因为两个向量空间的和是一个向量空间，在此例中将其记为 $S+U$。

$S+U$ 也即任意 $S$ 中的元素（任意对称矩阵）加上任意 $U$ 中的元素（任意上三角矩阵）所组成的一个矩阵空间，容易看出来这个所组成的矩阵空间实际上就是 $M$，故 $S+U$ 的维数为 $9$。

显然，$S+U$ 和 $S\bigcup U$ 是不同的，$S\bigcup U$ 只包含了 $S$ 和 $U$，而 $S+U$ 包含的是 $S$ 中元素和 $U$ 中元素的线性组合（这样的线性组合显然包含了 $S$ 和 $U$，也即 $(S\bigcup U)\subseteq(S+U)$）。

联系上面所有向量空间的维数，有这么一个等式：

同样的“向量空间”的概念还能进一步扩展，空间内元素不局限于向量和矩阵，其还可以是微分方程的解。

例如，求解如下微分方程：

只考虑实数范围，我们容易找到这个微分方程的解有：$y=sinx$ 和 $y=cosx$。实际上，所有 $sinx$ 和 $cosx$ 的线性组合，也即 $c_1sinx+c_2cosx$ 都是该微分方程的解。而该微分方程的所有解的集合实际上就可以看做是一个“向量空间“，我们可称其为解空间，解空间中的元素是解（而非向量或者矩阵），且这些解都满足线性组合封闭的条件。

从向量空间的角度思考这个解空间，那么这个解空间的维数为 $2$，其具有两个基，恰为 $sinx$ 和 $cosx$。

秩 $1$ 矩阵也即秩为 $1$ 的矩阵。

所有的秩 $1$ 矩阵都可以表示为一列乘以一行的形式（因为行向量之间都线性相关，列向量之间都线性相关），如：

此外，秩 $1$ 矩阵还可以用来搭建其他矩阵。假设有一个 $5\times 17$ 的矩阵其秩为 $4$，那么该矩阵可以通过四个秩 $1$ 矩阵搭建出来，具体过程类似于我们在第 $3$ 课中讲到的矩阵乘法中的“列乘行”形式：

从空间的角度看，所有秩为 $4$ 的矩阵的集合（注意，是集合而不是线性组合）是一个向量空间吗？显然不是，因为显然至少其中都不包含零矩阵。

另外，矩阵的加法存在这样的性质：$rank(A+B)\le rank(A)+rank(B)$。

这个性质意味着，对于同样规模的同秩矩阵所组成的集合，其加法是不封闭的。两个 $5\times 6$ 的秩为 $4$ 矩阵相加，结果的秩可能大于 $4$。

在介绍图的知识之前，我们先考虑下面这个例子：

四维空间中的向量都有四个分量 $v=\begin{bmatrix}v_1&v_2&v_3&v_4\end{bmatrix}^T$，设 $S$ 为一个集合，$S$ 中的向量都满足： $v_1+v_2+v_3+v_4=0$。则 $S$ 是一个向量空间吗？若是，那么其基和维数是多少？

$S$ 显然是一个向量空间，因为 $v_1+v_2+v_3+v_4=0$ 这个特点，所以 $S$ 对加法和数乘都封闭，$S$ 中也显然包含零向量。那么，$S$ 这样的向量空间其维数和基是什么呢？

我们考虑矩阵 $A=\begin{bmatrix}1&1&1&1\end{bmatrix}$，由 $S$ 中向量元素的特殊性质可得：

注意到，所有满足条件的 $v$ 对应的向量空间 $S$ 正好是 $A$ 的零空间，这样我们就把问题转化为求矩阵的零空间的基和维数了，这样的转换十分巧妙。

矩阵 $A$ 的秩 $r$ 为 1，列数 $n=4$，因此，$S$ 的维数为 $n-r=3$，其基为 $Av=0$ 的三个特解：

再观察 $A$ 的列空间和左零空间列，其列空间正好就为 $R^1$，其左零空间只包含数 $0$。

课程的最后，我们介绍图的概念，引出图与线性代数之间的关系。

图是点和边的集合，边连通各个点。

一个包含五个点六条边的图，完全可以使用一个 $5\times 6$ 的矩阵来表示该图中的所有信息。

一个有趣的问题是：一个由很多点和很多条边组成的图，最大的两点距离是多少？有研究表明，通常不超过6步，这也即所谓的“六度分割理论”。

具体的关于图和矩阵之间的联系将在下一章中细讲。