第 6 课 列空间和零空间

本章主要介绍了列空间和零空间。首先，探讨了关于子空间的并和交是否依然是一个子空间。然后我们开始探讨列空间中列空间的大小问题。最后我们学习了零空间，并对零空间是向量空间这一事实给予了证明。

  • 考虑子空间的并和交：

    假设取某个向量空间的两个子空间 $P$ 和 $L$，那么：

    • 关于它们的并 $P\bigcup L$ 是子空间吗？显然，两个子空间的并，不一定是子空间

    • 关于它们的交 $P\bigcap L$ 是子空间吗？是的。实际上，对于任意两子空间的交集都是子空间。这一点很好证明：

  • 对于一个矩阵 $A$ ，其列空间由其各列的所有线性组合构成。

  • 在我们探究矩阵的列空间的大小时，我们不可避免地又遇上了那个问题：$Ax=b$ 是否对任意 $b$， 都有解？换句话说，什么样的 $b$ 使方程组有解？

    现在在学习了列空间的概念以后，我们可以更加具象地回答这个问题了：$Ax=b$ 有解，当且仅当右侧向量 $b$ 属于 $A$ 的列空间。只有当 $b$ 是 $A$ 的各列的线性组合时，$Ax=b$ 才有解。

  • 矩阵的列空间的大小和矩阵的各列的线性无关性有关系，换句话说，如果矩阵各列中有越多的列线性无关，那么矩阵的列空间的大小就越大（我们可把线性无关的列理解为真正对列空间的扩大具有贡献的列，而线性相关的列可以通过其他列的线性组合而得到，所以其无贡献于列空间扩大。）

  • 零空间

    我们已经学习了矩阵 $A$ 的列空间，下面我们学习 $A$ 的零空间，这是从矩阵来构造子空间的又一种方式。矩阵 $A$ 的零空间由所有使得 $Ax=0$ 成立的 $x$ 组成。注意我们这里要求 $b=0$

    • 可以发现，零空间显然包含零向量。

    • 零空间是向量空间，这一点是非常显而易见的：

      • 如果 $Av=0$ 和 $Aw=0$，那么显然 $Av + Aw = A(v+w) = 0$，对加法封闭。
      • 如果 $Av = 0$，那么显然 $A(kv) = k(Av) = k\cdot0 = 0$，对数乘封闭。

    • 零空间和零向量空间是不一样的，零向量空间只包含一个零向量，而零空间可包含无数个向量。

    • 通过要求 $b = 0$ ，我们发现对于 $x$ 的求解可以找到一种向量空间（子空间）。

      现在我们设 $b \not= 0$，那么对于 $x$ 的求解是否能够找到一种向量空间呢？显然答案是不能，因为若 $b \not= 0$，那么 $x$ 就不能等于 $0$，连零向量都不包含，显然 $x$ 的解的集合不会是一种向量空间。向量空间必然包含零向量！