第 5 课 转置、置换和向量空间 $R$

本章介绍的主要内容包括置换、转置和向量空间。在最开始部分对置换矩阵给予介绍：包括对于 $LU$ 分解的扩展 $PA = LU$ 以及置换矩阵的定义和性质。然后介绍了矩阵的转置，并延伸介绍了对称矩阵的概念。后半部分的课程主要对向量空间尤其是 $R^n$及其子空间进行了讲述（从 $R^2$ 和 $R^3$ 看出一定规律），最后引申出列空间的概念。

  • 考虑消元过程中的行交换，可得到扩展有：$A = LU \rightarrow PA = LU$。后式对所有的可逆矩阵 $A$ 都适用。

    在前一讲中我们已经提到了，对于可逆矩阵 $A$ ，其在消元过程中可能出现主元为零的情况，此时需要进行行交换，而行交换无非就是乘上一个置换矩阵而已，矩阵 $A$ 通过左乘多个置换矩阵变换成一个相当好的矩阵（也即在消元过程中不需要进行行交换），此时进行 $LU$ 分解就没有任何问题了，而这些左乘的多个置换矩阵的总乘积记为 $P$。

  • 置换矩阵是行重新排列了的单位矩阵。

    • 这意味着置换矩阵显然必须是一个方阵，因为单位矩阵就是方阵，且单位矩阵也是一个置换矩阵（只不过单位矩阵不做任何行为）
    • $n\times n$ 阶的置换矩阵的个数：$n!=n(n-1)…3\cdot2\cdot1$
    • 置换矩阵显然都可逆。因为行交换是可逆的。且有 $P^{-1} = P^T$。故 $P^TP=I$。

  • 对称矩阵：转置以后矩阵没有发生变化，也即 $A^T = A$

    对称矩阵在实验中是经常会用到的。现在的问题是我们如何产生一个对称矩阵呢？一个非常常用的方法是将矩阵的转置和其本身相乘（$R^TR$）。其证明也相当简单：$(R^TR)^T=R^T(R^T)^T=R^TR$，显然 $R^TR$ 是一个对称矩阵。

  • 向量空间 R

    在讲述这个概念之前我们必须要明确向量有什么运算。主要包括两种：数乘和加法。如果我们将数乘和加法结合来看，可以用线性代数里的语言描述为线性组合。

    我们可以对向量空间进行描述了：向量空间必须对数乘和加法两种运算是封闭的，也即对线性组合封闭。

    $R^n$ 就是一个非常重要的向量空间。但有时候我们更加关注 $R^n$ 内的向量空间，这些较小的向量空间既满足既定的规则，又无需包含所有向量，我们把这些向量空间称为子空间。

    现在我们把目光放到子空间上：如何找到向量空间里的子空间呢？我们可以从 $R^2$ 和 $R^3$ 出发，容易发现

    • 对于 $R^2$，我们能找到其子空间有：
      • $R^2$（即本身，$R^2$ 最大的向量子空间）
      • 任何过原点的直线
      • 零向量空间（最小的向量子空间，其只包含零向量）
    • 对于 $R^3$，我们能找到其子空间有：
      • $R^3$（即本身，$R^3$ 最大的向量子空间）
      • 任何过原点的平面
      • 任何过原点的直线
      • 零向量空间（最小的向量子空间，其只包含零向量）

    由上我们可以发现 $R^n$ 向量空间及其子空间的规律。

  • 从矩阵中构造出子空间

    一种显而易见的方法是通过列向量来进行构造：取出矩阵各列，然后线性组合，所有的线性组合就能构成一个子空间，我们一般把构造出的子空间称为矩阵的列空间，记为 $C(A)$。这是矩阵中我们提及的第一种重要的子空间。