第 3 课 乘法和逆矩阵

第 3 课的主要内容是矩阵乘法和逆矩阵。矩阵乘法主要介绍了矩阵乘法的多种求解方法、乘法的结合律以及能够相乘的条件。逆矩阵主要介绍了如何判断一个矩阵是逆矩阵，最后顺带提及了求解一个好矩阵（非奇异矩阵）的逆矩阵的方法。

  • 矩阵乘法 $AB=C$ 的 $5$ 种求解方法：

    • 从元素的角度（$A$ 的行乘以 $B$ 的列）

    • 从列的角度（列的线性组合）：$C$ 的各列是 $A$ 中各列的一个线性组合，组合方式由 $B$ 决定。比如 $C$ 的第一列是 $A$ 中各列相对于 $B$ 的第一列的一个线性组合。

    • 从行的角度（行的线性组合）：$C$ 的各行是 $B$ 中各行的一个线性组合，组合方式由 $A$ 决定。比如 $C$ 的第一行是 $B$ 中各行相对于 $A$ 的第一行的一个线性组合。

    • 从矩阵的角度（$A$ 的列乘以 $B$ 的行）

    • 从分块的角度：其中 $C_1=A_1B_1+A_2B_3$

  • 行空间：也即行的所有可能的线性组合对应的向量空间

  • 列空间：也即列的所有可能的线性组合对应的向量空间

  • 逆矩阵分为左逆和右逆，对于方阵来说，左逆是等于右逆的，但对于非方阵来说，左逆不等于右逆。需要明确声明的是，这句话中的逆矩阵指的是广义逆矩阵。在线性代数范围的定义下，可逆矩阵一定是方阵。

  • 一个重要的问题：如何判断一个矩阵是否有逆？

    • 从行列式的角度：行列式等于零，矩阵不可逆
    • 从列图像的角度：若矩阵 $A^{-1}$ 存在，那么有 $AA^{-1}=I$ ，也即 $I$ 的各列是 $A$ 中各列的线性组合，如果 $A$ 中的各列无法线性组合成 $I$ 中的任何一列，那么矩阵不可逆
    • 能否找到非零向量 $x$ 使得 $Ax = 0$。假设 $Ax=0$ 且 $A^{-1}$ 存在，那么有 $A^{-1}Ax=A^{-1}0=0$， 于是有 $A^{-1}Ax=Ix=x=0$，这也即逆矩阵存在则 $x$ 必为零向量，若能找到非零向量 $x$ 使得 $Ax = 0$，则该矩阵必然不可逆。

  • 如何求解逆矩阵——使用高斯-若尔当思想，同时处理多个方程组

    将 $A$ 和 $I$ 矩阵放到一起形成一个增广矩阵，$E$ 矩阵也即总的消元矩阵，其能够将 $A$ 行变换为 $I$， 也即 $EA=I$。

    由 $EA=I$ 此可知 $E$ 是 $A$ 的逆矩阵 ($E=A^{-1}$)，又因为 $EI=E$，所以变换后的增广矩阵右侧自然就得到了逆矩阵。

    同时，高斯-若尔当思想也告诉我们，如果矩阵 $A$ 可以行变换化简成 $I$，那么显然 $A$ 是一个可逆矩阵。